Calculer des logarithmes de tête
Tout est dans le titre ! Évidemment, pour manger des frites chez un célèbre marchand de hamburger, cela ne sert à rien. Nous allons nous amuser juste pour le plaisir de jouer avec notre cerveau. C’est parti !
1. Connaître des valeurs de référence importantes
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e) = 1\) (car c’est la définition du logarithme en base \(e\))
- \(\ln(10) \approx 2.30\)
- \(\ln(2) \approx 0.69\)
- \(\ln(3) \approx 1.09\)
2. Utiliser des propriétés des logarithmes
Les logarithmes possèdent des propriétés utiles pour simplifier les calculs :
- \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\)
- \(\ln(a / b) = \ln(a) – \ln(b)\)
- \(\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)\)
Exemples :
- \(\ln(6) = \ln(2 \cdot 3) = \ln(2) + \ln(3) \approx 0.69 + 1.09 = 1.78\)
- \(\ln(0.5) = \ln(1 / 2) = \ln(1) – \ln(2) = -0.69\)
- \(\ln(20) = \ln(2 \cdot 10) = \ln(2) + \ln(10) = 0.69 + 2.3 = 2.99\)
3. Utiliser une approximation logarithmique
Pour \(x \in ]-1, 1[\), on peut utiliser la formule :
\[ \ln(1+x) \approx x – \frac{x^2}{2} \]
Exemple :
\(\ln(1.2) = \ln(1 + 0.2) \approx 0.2 – \frac{0.2^2}{2} = 0.2 – 0.02 = 0.18\)
4. Utiliser la décomposition en base 2
Exemple pour \(\ln(13)\) :
| Logarithme à calculer | Décomposition en base 2 | Factorisation | Propriété | Formule | Résultat réel |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(13)\) | \(13 = 1 + 4 + 8\) | \(\ln(8(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}))\) | \(3\ln(2) + \ln(1 + \frac{5}{8})\) | \(2.07 + 0.625 – 0.18 = 2.51\) | \(2.56\) |
Exemple pour \(\ln(19)\) :
| Logarithme à calculer | Décomposition en base 2 | Factorisation | Propriété | Formule | Résultat réel |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(19)\) | \(19 = 16 + 3\) | \(\ln(16(1 + \frac{3}{16}))\) | \(4\ln(2) + \ln(1 + \frac{3}{16})\) | \(2.76 + 0.18 – 0.01 = 2.93\) | \(2.94\) |
Exemple pour \(\ln(15)\) :
| Logarithme à calculer | Décomposition en base 2 | Factorisation | Propriété | Formule | Résultat réel |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln(15)\) | \(15 = 16 – 1\) | \(\ln(16(1 – \frac{1}{16}))\) | \(4\ln(2) + \ln(1 – \frac{1}{16})\) | \(2.76 – 0.06 = 2.7\) | \(2.7\) |