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Effet :
Un spectateur choisit un mot dans un dictionnaire, et le magicien devine ce mot.

Explications :
Avant de donner le dictionnaire au spectateur, le magicien explique les étapes suivantes :

1. Choisir un nombre à trois chiffres différents (par exemple, \(853\)).
2. Considérer le « renversé » du nombre choisi (ici, \(358\)).
3. Soustraire ces deux nombres : \(853 – 358 = 495\).
4. Considérer le « renversé » du résultat (ici, \(594\)).
5. Additionner ces deux nombres : \(495 + 594 = 1089\).

Le magicien feint d’être surpris par l’importance de ce résultat et fait constater que le dictionnaire a moins de mille pages. Il remet ensuite le dictionnaire au spectateur et lui demande de l’ouvrir à la page \(108\) et de regarder la \(9^{\text{e}}\) définition (une façon d’utiliser \(1089\)). Bien qu’il ne consulte pas le dictionnaire, le magicien est capable de deviner le mot choisi.

Pourquoi ?
Parce que le calcul mène TOUJOURS au résultat \(1089\). Le magicien a donc repéré à l’avance la \(9^{\text{e}}\) définition de la page \(108\).

Remarques :

• Plutôt que de deviner le mot, le magicien peut en faire une prédiction.
• Ce tour peut également se faire avec un livre. Dans ce cas, le spectateur est invité à ouvrir le livre à la page \(108\) et à lire (dans sa tête) la \(9^{\text{e}}\) ligne. Le magicien lui demande de se concentrer sur un mot au milieu de cette ligne. Étant donné qu’il connaît déjà cette ligne, il est capable de révéler le mot choisi. Pour augmenter ses chances de succès, il peut demander au spectateur de se concentrer sur un mot « significatif », en évitant les mots courants tels que « le », « la », « du », etc.
• Il est possible que la soustraction donne \(99\). Précisez que le nombre à 3 chiffres qui lui est associé est \(099\). L’addition devient \(099 + 990 = 1089\).

Démonstration :
Pour bien comprendre cette démonstration, il suffit de se rappeler qu’un nombre à trois chiffres est constitué de centaines, de dizaines et d’unités. Bien que cela semble évident, c’est la clé de cette démonstration.

Nous allons considérer un nombre à trois chiffres. Il est donc de la forme \(a \times 100 + b \times 10 + c\), où \(a \ne 0\). Nous allons considérer son renversé : \(100 \times c + 10 \times b + a\).

Sans perte de généralité, supposons que \(a > c\).

Utilisons un tableau de soustraction :

Centaine	Dizaine	Unité
\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(c\)	\(b\)	\(a\)
\(a – c\)	\(0\)	\(c – a\)
\(a – c – 1\)	\(10\)	\(c – a\)
\(a – c – 1\)	\(9\)	\(10 + c – a\)

Les trois chiffres de la dernière ligne sont tous strictement inférieurs à 10. Le résultat de la soustraction est donc :

$$ (a – c – 1) \times 100 + 9 \times 10 + (10 + c – a) $$

Son renversé est :

$$ (10 + c – a) \times 100 + 9 \times 10 + (a – c – 1) $$

La somme des deux nombres est :

$$ [(a – c – 1) + (10 + c – a)] \times 100 + 9 \times 10 + (10 + c – a + a – c – 1) $$

Ce qui se simplifie en :

$$ (9 + 1) \times 100 + 90 + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089 $$

Intégration – Terminale S

I – Aire sous une courbe : Intégrale d’une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle \([a ; b]\).
On note \(\mathcal{C}_f\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé \((O ; \vec{i}, \vec{j})\).

On cherche à déterminer l’aire du domaine D situé sous la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de \(f\).
L’unité d’aire est donnée par le repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\) : c’est l’aire du rectangle \(OIKJ\).

Plus précisément, le domaine \(D\) est l’ensemble des points \(M(x, y)\) tels que :
\[ a \leq x \leq b \quad \text{et} \quad 0 \leq y \leq f(x) \]

Cette aire s’appelle l’intégrale de la fonction \(f\) de \(a\) à \(b\), et on la note :

$$ \int_a^b f(x)\,dx $$

Encadrement d’une intégrale

Les graphiques suivants donnent la courbe représentative d’une fonction \(f\).
Déterminer dans chacun des cas un encadrement de l’intégrale :

$$ \cdots \leq \int_2^6 f(x)\,dx \leq \cdots $$

Approche par approximation de rectangles

La situation précédente est généralisable. Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a ; b]\).

On découpe l’intervalle \([a ; b]\) en \(n\) intervalles de même longueur :

$$ \Delta x = \frac{b – a}{n} $$ et \[ [x_0, x_1], [x_1, x_2], \dots, [x_{n-1}, x_n] \quad \text{avec} \quad x_0 = a, x_k = x_0 + k \Delta x \]

On peut approcher l’aire sous la courbe par une somme d’aires de rectangles :

• En prenant les hauteurs à gauche :

  $$ s_n = f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x + \dots + f(x_{n-1})\Delta x = \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x $$

• En prenant les hauteurs à droite :

  $$ S_n = f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \dots + f(x_n)\Delta x = \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x $$

L’aire réelle (intégrale) est donc encadrée par ces deux sommes :

$$ s_n \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_n $$

Les suites \(s_n\) et \(S_n\) sont dites adjacentes : elles convergent vers la même limite, qui est l’intégrale de \(f\) sur \([a ; b]\).

Remarques

Remarque 1 : La notation \[ \int_a^b f(x)\,dx \] a été introduite par Leibniz (et/ou Newton) au XVIIe siècle. Elle s’explique comme la limite, quand \(\Delta x \to 0\), de la somme :

$$ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x $$

Remarque 2 : La variable \(x\) est dite *muette* : la lettre utilisée n’a pas d’importance. On a par exemple :

$$ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du = \int_a^b f(\alpha)\,d\alpha = \dots $$