La magie du nombre « 1089 »

Effet :

Un spectateur choisit un mot dans un dictionnaire, et le magicien devine ce mot.

Explications :

Avant de donner le dictionnaire au spectateur, le magicien explique les étapes suivantes :

1. Choisir un nombre à trois chiffres différents (par exemple, 853).
2. Considérer le « renversé » du nombre choisi (ici, 358).
3. Soustraire ces deux nombres (853 – 358 = 495).
4. Considérer le « renversé » du résultat (ici, 594).
5. Additionner ces deux nombres (495 + 594 = 1089).

Le magicien feint d’être surpris par l’importance de ce résultat et fait constater que le dictionnaire a moins de mille pages. Il remet ensuite le dictionnaire au spectateur et lui demande de l’ouvrir à la page 108 et de regarder la 9ᵉ définition (une façon d’utiliser 1089). Bien qu’il ne consulte pas le dictionnaire, le magicien est capable de deviner le mot choisi.

Pourquoi ?

Parce que le calcul mène TOUJOURS au résultat 1089. Le magicien a donc repéré à l’avance la 9ᵉ définition de la page 108.

Remarques :

• Plutôt que de deviner le mot, le magicien peut en faire une prédiction.
• Ce tour peut également se faire avec un livre. Dans ce cas, le spectateur est invité à ouvrir le livre à la page 108 et à lire (dans sa tête) la 9ᵉ ligne. Le magicien lui demande de se concentrer sur un mot au milieu de cette ligne. Étant donné qu’il connaît déjà la 9ᵉ ligne de la page 108, il est capable de révéler le mot choisi. Pour augmenter ses chances de succès, le magicien peut demander au spectateur de se concentrer sur un mot « significatif », en évitant les mots courants tels que « le », « la », « du », etc.
• Il est possible que la soustraction donne 99. Précisez que le nombre à 3 chiffres qui lui est associé est 099. L’addition devient 099 + 990 = 1089.

Démonstration :

Pour bien comprendre cette démonstration, il suffit de se rappeler qu’un nombre à trois chiffres est constitué de centaines, de dizaines et d’unités. Bien que cela semble évident, c’est la clé de cette démonstration.

Nous allons considérer un nombre à trois chiffres. Il est donc de la forme
$$ ( a \times 100 + b \times 10 + c )$$

avec les nombres ( a, b, c ) sont des chiffres et a ≠ 0.

Nous allons considérer son renversé : $$( 100 \times c + 10 \times b + a )$$.
Sans perte de généralité, on va supposer que ( a > c ).

Utilisons le tableau de soustraction développé dans un précédent post.

Centaine	Dizaine	Unité
( a )	( b )	( c )
( c )	( b )	( a )
( a – c )	( 0 )	( c – a )

Puisque ( a > c ), ( c – a ) est négatif. Nous devons réorganiser le tableau :

Centaine	Dizaine	Unité
( a )	( b )	( c )
( c )	( b )	( a )
( a – c )	( 0 )	( c – a )
( a – c – 1 )	( 10 )	( c – a )
( a – c – 1 )	( 9 )	( 10 + c – a )

Les trois nombres dans la dernière ligne sont tous strictement inférieurs à 10.
Le résultat de la soustraction est donc le nombre :
$$ [(a – c – 1) \times 100 + 9 \times 10 + (10 + c – a)] $$

Son renversé est :
$$[(10 + c – a) \times 100 + 9 \times 10 + (a – c – 1)]$$

La somme de ces deux nombres est :
$$[(a – c – 1 + 10 + c – a) \times 100 + 180 + 10 + c – a + a – c – 1 = 900 + 180 + 9 = 1089]$$