Les portes du château
Dans un château, il y a 100 portes fermées. Une personne passe et ouvre toutes les portes. Une deuxième passe et change l’état de toutes les portes multiples de 2. Une troisième change toutes les multiples de 3, etc., jusqu’à la 100e personne.
À la fin, quelles portes restent ouvertes ?
Source : Math StackExchange
Dans cette énigme, il est préférable de regarder le problème du côté des portes. En effet, une porte change d’état lorsque le rang de la personne entre dans le château est un diviseur de la porte.
Par exemple, la porte 8 changera d’état au passage de la 1ere personne, de la 2ieme personne, la 4ieme et la 8ieme. Dans ce cas, la porte sera fermée à la fin de l’expérience. En effet, 8 a un nombre pair de diviseurs.
La porte 9, quant à elle, sera ouverte : en effet, les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Avec un nombre impaire de diviseurs, la porte sera ouverte.
Conclusion : Pour résoudre cette énigme, nous devons déterminer les entiers entre 1 et 100 qui ont un nombre impair de diviseurs.
Remarque : « Lorsque l’on connait un diviseur, on en connait deux ». Pour le nombre 24 qui est pair, 2 est un diviseur, on en déduit que 12 également (2×12=24). Ainsi, les diviseurs s’associent par paire et ici on forme le couple (2,12)
Il existe toutefois des entiers qui ont un nombre impair d’entier : les carrés !
En effet, le nombre 16 est un carré :16 = 4×4. Puisque 1 est diviseur, 16 l’est également : ce qui forme le couple (1, 16), on a également le couple (2, 8) et aussi le couple (4,4). Ainsi, 16 admet un nombre impair de diviseur (1, 2, 4, 8, 16), c’est le fait d’être un carré.
Conclusion : les portes ouvertes sont :
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81