Le nombre autodescriptif
Trouver un nombre à 10 chiffres dans lequel :
- Le chiffre à la position 0 (le plus à gauche) indique combien de zéros contient le nombre,
- Le chiffre à la position 1 indique combien de 1,
- …
- Le chiffre à la position 9 indique combien de 9.
Quel est ce nombre ?
Source : Martin Gardner, dans ses chroniques du Scientific American .
Remarque : puisque le nombre comporte 10 chiffres, et chaque chiffre ai compte combien de fois le chiffre i apparaît dans le nombre, on a : a0+a1+⋯+a9=10
Exemple : s’il y a 6 zéros, 2 uns, 1 deux et 1 six, on a bien 6+2+1+1=10.
En conséquence, cela nous permet d’en déduire qu’il n’y a pas le chiffre 9 dans la solution.
En effet, supposons que le nombre cherché comporte un 9. Cela veut dire qu’il y a 9 chiffres de même valeur et 1 fois le chiffre 9. Le seul nombre qui répond à cette situation est 9000000000. Le problème est que la somme de ses chiffres est 9 et non 10. De plus, s’il y a plus d’un fois le chiffre 9, la somme dépasse 10.
Conclusion 1: il n’y a pas de chiffre 9 dans la solution.
Un raisonnement similaire montre qu’il n’y a pas de 8 ni de 7.
Conclusion 2 : a7=a8=a9=0
Cherchons le nombre de 0:
Il y en a au moins 3. (d’après la conclusion 2). Supposons qu’il y a exactement trois 0. Le nombre est de la forme :
3 _ _ _ _ _ _ 0 0 0
Il reste 7 chiffres et aucun d’eux est un 0. Dans ce cas, le chiffres manquant ne peuvent qu’être que des 1. Mais cela n’est pas possible, on devrait avoir un 2 dans ce nombre et ce n’est pas le cas.
Supposons qu’il y a quatre 0. Le nombre est de la forme :
4 _ _ _ _ _ _ 0 0 0
Il reste un 0 à placer. Supposons que ce 0 soit placer en seconde position :
4 0 _ _ _ _ _ 0 0 0
La somme des chiffres restant doit être 6. La seule façon d’y parvenir est 1+1+1+1+2. Et dans ce cas, il y quatre 1, ce qui est contradictoire.
Si le second chiffre est 1 :
4 1 _ _ _ _ _ 0 0 0
La somme des 5 nombres suivant doit être de 5 et il y a un 0 à placer et on ne peut pas ajouter de 1. Il n’y a pas de solution.
Si le second chiffre est 2 :
4 2 _ _ _ _ _ 0 0 0
Il reste 5 chiffres à placer dont un 0 et deux 1 et la somme des chiffres restant doit être 4. 0+1+1+2 est la seule solution et quelque soit la disposition de ces chiffres, cela ne correspond pas à la solution.
On obtient des conclusions similaire en plaçant un nombre plus grand que 2 en seconde position.
De la même manière, on montre que si le premier chiffre est un 5, on ne trouve pas de solution.
Il n’y a pas de 7, de 8 et de 9. La seule valeur possible pour le nombre de 0 est 6.
Le solution est de la forme :
6 _ _ _ _ _ _ 0 0 0
Il y a encore trois 0 à placer et la somme des chiffres doit être 4. La seule solution possible est 0+0+0+1+1+2.
Comme il y a déjà un 6, on en déduit que la solution est de la forme :
6 _ _ _ _ _ 1 0 0 0
Il doit y avoir deux 1, donc la solution est de la forme :
6 2 _ _ _ _ 1 0 0 0
Il y a un 2, la solution est de la forme :
6 2 1 _ _ _ 1 0 0 0
Il ne reste plus que les 0 à passer :
6 2 1 0 0 0 1 0 0 0
Remarque : nous reviendrons plus tard sur cette énigme et voir comment « mal » utiliser un théorème de mathématiques pour retrouver cette solution et plus encore !