🎩 Effet
Un spectateur choisit un mot dans un dictionnaire, et le magicien devine ce mot.
✨ Explications
Avant de donner le dictionnaire au spectateur, le magicien explique les étapes suivantes :
- Choisir un nombre à trois chiffres différents (par exemple, 853).
- Considérer le « renversé » du nombre choisi (ici, 358).
- Soustraire ces deux nombres : 853−358=495853 – 358 = 495
- Considérer le « renversé » du résultat (ici, 594).
- Additionner ces deux nombres : 495+594=1089495 + 594 = 1089
Le magicien feint d’être surpris par l’importance de ce résultat et fait constater que le dictionnaire a moins de mille pages. Il remet ensuite le dictionnaire au spectateur et lui demande de l’ouvrir à la page 108 et de regarder la 9e^\text{e} définition (une façon d’utiliser 1089). Bien qu’il ne consulte pas le dictionnaire, le magicien est capable de deviner le mot choisi.
🔍 Pourquoi ?
Parce que le calcul mène toujours au résultat 10891089. Le magicien a donc repéré à l’avance la 9e^\text{e} définition de la page 108.
💡 Remarques
- Plutôt que de deviner le mot, le magicien peut en faire une prédiction.
- Ce tour peut également se faire avec un livre. Dans ce cas, le spectateur est invité à ouvrir le livre à la page 108 et à lire (dans sa tête) la 9e^\text{e} ligne. Le magicien lui demande de se concentrer sur un mot au milieu de cette ligne. Étant donné qu’il connaît déjà la 9e^\text{e} ligne de la page 108, il est capable de révéler le mot choisi. Pour augmenter ses chances de succès, le magicien peut demander au spectateur de se concentrer sur un mot « significatif », en évitant les mots courants tels que « le », « la », « du », etc.
- Il est possible que la soustraction donne 99. Précisez que le nombre à 3 chiffres qui lui est associé est 099. L’addition devient alors : 099+990=1089099 + 990 = 1089
🧮 Démonstration
Pour bien comprendre cette démonstration, il suffit de se rappeler qu’un nombre à trois chiffres est constitué de centaines, dizaines et unités.
On considère un nombre à trois chiffres, de la forme : 100a+10b+c100a + 10b + c avec a≠0a \ne 0. Son renversé est : 100c+10b+a100c + 10b + a
On suppose a>ca > c, et on soustrait les deux nombres :
🧾 Tableau de soustraction :
| Centaine | Dizaine | Unité |
|---|---|---|
| aa | bb | cc |
| cc | bb | aa |
| a−ca – c | 0 | c−ac – a |
Puisque a>ca > c, c−ac – a est négatif. On réorganise alors le tableau :
| Centaine | Dizaine | Unité |
|---|---|---|
| a−c−1a – c – 1 | 10 | c−ac – a |
| a−c−1a – c – 1 | 9 | 10+c−a10 + c – a |
Les trois chiffres sont tous strictement inférieurs à 10. Le résultat de la soustraction est donc : (a−c−1)×100+9×10+(10+c−a)(a – c – 1) \times 100 + 9 \times 10 + (10 + c – a)
Son renversé est : (10+c−a)×100+9×10+(a−c−1)(10 + c – a) \times 100 + 9 \times 10 + (a – c – 1)
Additionnons les deux : &[(a – c – 1) + (10 + c – a)] \times 100 + 2 \times (9 \times 10) + (10 + c – a) + (a – c – 1) \\ &= 10 \times 100 + 180 + 9 \\ &= \boxed{1089} \end{aligned} \]